Question

在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A₁(－2,0)、A₂(2,0)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N₁(0，m)、N₂(0，n)，且mn＝3.

(1)求直線A₁N₁與A₂N₂交點(diǎn)的軌跡M的方程；

(2)已知F₂(1,0)，設(shè)直線l：y＝kx＋m與(1)中的軌跡M交于P、Q兩點(diǎn)，直線F₂P、F₂Q的傾斜角為α、β，且α＋β＝π，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1)依題意知直線A₁N₁的方程為：y＝(x＋2)，①

直線A₂N₂的方程為：y＝－(x－2)，②

設(shè)Q(x，y)是直線A₁N₁與A₂N₂的交點(diǎn)，①×②得y²＝－(x²－4)，

由mn＝3，整理得＋＝1.

∵N₁、N₂不與原點(diǎn)重合，∴點(diǎn)A₁(－2,0)、A₂(2,0)不在軌跡M上，

∴軌跡M的方程為＋＝1(x≠±2)．

(2)由題意知，直線l的斜率存在且不為零，

聯(lián)立方程得，消去y，得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，設(shè)P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，則

由已知α＋β＝π，得kF₂P＋kF₂Q＝0，∴＝0，

化簡(jiǎn)，得2kx₁x₂＋(m－k)(x₁＋x₂)－2m＝0，

代入，得－2m＝0，

整理得m＝－4k.

∴直線l的方程為y＝k(x－4)，因此直線l過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．