Question

已知f（x）=x²+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e^-x，φ（x）=f（x）•g（x）．
（1）當a=1時，求φ（x）的單調區(qū)間；
（2）求g（x）在點（0，1）處的切線與直線x=1及曲線g（x）所圍成的封閉圖形的面積；
（3）是否存在實數(shù)a，使φ（x）的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1時，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．先對函數(shù)y=φ（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，
根據(jù)φ′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，φ′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，即可得到答案．
（2）先求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=0處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線方程．最后利用定積分的幾何意義求面積即可；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數(shù)a，使φ（x）的極大值為3，再利用導烽工具，求出φ（x）的極大值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）當a=1時，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．φ′（x）=e^-x（-x²+x）
當φ′（x）＞0時，0＜x＜1；當φ′（x）＜0時，x＞1或x＜0
∴φ（x）單調減區(qū)間，（-∞，0），（1，+∞），單調增區(qū)間為：（0，1）
（2）k=g'（0）=-e^-x|_x-0=-1，切線方程為：y=-x+1
所圍成的封閉圖形的面積為S=∫¹[e^-x-（-x+1）]dx=∫¹（e^-x+x-1）dx=（-e^-x+
（3）φ′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：

由表可知，φ（x）_極大=φ（2-a）=（4-a）e^a-2
設μ（a）=（4-a）e^a-2，μ′（a）=（3-a）e^a-2＞，
∴μ（a）在（-∞，2）上是增函數(shù)，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）e^a-2≠3，
∴不存在實數(shù)a，使φ（x）極大值為3．（14分）
點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、定積分在求面積中的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想．屬于中檔題．