Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件：存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)f（x）為“V型函數(shù)”．現(xiàn)給出以下函數(shù)，其中是“V型函數(shù)”的是

 

．
（1）f（x）=

x

x2+x+1

；
（2）f（x）=

x•2x(x≤0) f(x-1)(x＞0)

；
（3）f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|成立．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)F函數(shù)的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判定．比較各個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)（1）（2），根據(jù)單調(diào)性可求出存在正常數(shù)M滿足條件，而對于其它選項(xiàng)，不等式變形之后，發(fā)現(xiàn)都不存在正常數(shù)M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．

解答： 解：對于（1）若f（x）=

x

x2+x+1

，則|f（x）|=|

x

x2+x+1

|=

|x|

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

|x|，故對任意的m＞

4

3

，都有|f（x）|＜m|x|，故是V型函數(shù)，
對于（2）當(dāng)x≤0，要使|f（x）|≤m|x|成立，即|2^x|≤m成立，這樣的M不存在，故（2）不是V型函數(shù)；
對于（3）④，f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意．
故是V型函數(shù)；
故答案為（1），（3）

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力．知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，綜合性較強(qiáng)．