（2009•河?xùn)|區(qū)二模）在△ABC中，若
AB
•
AC
=|
AB
-
AC
|=2，則△ABC的面積的最大值為
3
3
．
分析：設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，由
AB
•
AC
=|
AB
-
AC
|=2，得bccosA=a=2①，由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=4②，聯(lián)立①②可得b2+c2=8，由不等式可得bc≤4，而S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
bc
1-cos2A
=
1
2
bc
1-
4
b2c2
=
1
2
b2c2-4
，由此可求其最大值．
解答：解：設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，
由
AB
•
AC
=|
AB
-
AC
|=2，得bccosA=a=2①，
S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
bc
1-cos2A
=
1
2
bc
1-
4
b2c2
=
1
2
b2c2-4
，
由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=4②，
由①②消掉cosA得b2+c2=8，所以b2+c2≥2bc，bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號，
所以S△ABC=
1
2
b2c2-4
≤
1
2
16-4
=
3
，
故△ABC的面積的最大值為
3
，
故答案為：
3
．
點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算、三角形面積公式不等式求最值等知識，綜合性較強，有一定難度．
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