Question

14．已知點A_n（x_n，y_n），B_n（s_n，t_n）（n∈N^*）是拋物線x²=4y上不同的兩點，設(shè)拋物線在點A_n，B_n，處的兩條切線相互垂直，垂足為點C_n；
（1）求x_ns_n的值；
（2）設(shè)F為拋物線x²=4y的焦點，若x_n=2ⁿ，當(dāng)n≥2時，求證：$\sum_{k=1}^{n}$|FC_k|≥$\frac{{n}^{2}+n+3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設(shè)直線A_nB_n的方程為y-1=k_nx，然后與拋物線方程x²=4y聯(lián)立消去y得到x²-4k_nx-4=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得到x_ns_n=-4，從而得證．
（Ⅱ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出拋物線x²=4y在A_n處的切線的斜率，進而可得到拋物線在A_n處的切線的方程，同理可得到x²=4y在B_n處的切線方程，然后兩切線方程相減整理可得到交點C_n的坐標(biāo)，然后結(jié)合兩點間的距離公式可得到：|FC_k|=|$\frac{{x}_{n}}{2}$|+|$\frac{2}{{x}_{n}}$|．又由于x_n=2ⁿ可得到|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=$\frac{1}{2}$（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2（$\frac{1}{|{x}_{1}|}$+$\frac{1}{|{x}_{2}|}$+…+$\frac{1}{|{x}_{n}|}$），最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式可得到最后答案．

解答 解：（1）對任意固定的n≥1，因為焦點F（0，1），
所以可設(shè)直線A_nB_n的方程為y-1=k_nx，
將它與拋物線方程x²=4y聯(lián)立得：x²-4k_nx-4=0，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x_ns_n=-4（n≥1）．
（2）對任意固定的n≥1，
利用導(dǎo)數(shù)知識易得拋物線x²=4y在A_n處的切線的斜率$\frac{{x}_{n}}{2}$，
故x²=4y在A_n處的切線的方程為：y-y_n=$\frac{{x}_{n}}{2}$（x-x_n），①
類似地，可求得x²=4y在B_n處的切線的方程為：y-t_n=$\frac{{s}_{n}}{2}$（x-s_n），②
由②-①得：y_n-t_n=-（$\frac{{x}_{n}}{2}$-$\frac{{s}_{n}}{2}$）x+$\frac{{{x}_{n}}^{2}-{{s}_{n}}^{2}}{2}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-{{s}_{n}}^{2}}{4}$，
∴x=$\frac{{x}_{n}+{s}_{n}}{2}$③
將 ③代入 ①并注意x_ns_n=-4得交點C_n的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{n}+{s}_{n}}{2}$，-1）．
由兩點間的距離公式得：|FC_k|=|$\frac{{x}_{n}}{2}$|+|$\frac{2}{{x}_{n}}$|．
現(xiàn)在x_n=2ⁿ，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：
|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=$\frac{1}{2}$（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2（$\frac{1}{|{x}_{1}|}$+$\frac{1}{|{x}_{2}|}$+…+$\frac{1}{|{x}_{n}|}$）
=$\frac{1}{2}$（2+2²+…+2ⁿ）+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=（2ⁿ-1）+（2-2^1-n）
=2ⁿ-2^1-n+1≥${C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}+1-\frac{1}{2}+1$=$\frac{{n}^{2}+n+3}{2}$．

點評 本題主要考查直線與拋物線的綜合問題和等比數(shù)列的前n項和公式．考查基礎(chǔ)知識的綜合運用和計算能力．圓錐曲線、直線以及數(shù)列是高考必考題，要給予重視．