Question

已知數(shù)列a_n滿足
（1）求數(shù)列a_n的通項公式a_n；
（2）設，求數(shù)列b_n的前n項和S_n；
（3）設，數(shù)列c_n的前n項和為T_n．求證：對任意的．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，所以，再由，知數(shù)列（n∈N^*）是以3為首項，-2為公比的等比數(shù)列，由此可求出數(shù)列a_n的通項公式a_n．
（2）由題設知b_n=（3×2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1，所以
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）由題意知，∴，，再由T₁＜T₂＜T₃，知對任意的n∈N^*，T_n．
解答：解：（1）∵，∴，
又∵，所以數(shù)列（n∈N^*）是以3為首項，-2為公比的等比數(shù)列，
∴．
（2）b_n=（3×2^n-1+1）²
=9•4^n-1+6•2^n-1+1，
∴
=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．
（3）證明：由（1）知，∴，當n≥3時，則
=
又∵T₁＜T₂＜T₃，
∴對任意的n∈N^*，T_n．（12分）
點評：本題考查數(shù)列的應用和性質，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用，注意積累解題方法．