Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB$\stackrel{∥}{=}$CD，AC、BD交于點O，AB⊥平面PAC，且2PA=2PC=2CD=AD，PE=ED．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）求銳二面角E-BC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通過AB∥CD且AB=CD可得AO=OC，結(jié)合PA=PC可得PO⊥AC，利用AB⊥平面PAC及線面垂直、面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則所求值即為平面EBC的法向量與平面BCP的法向量的夾角的余弦值的絕對值，計算即可．

解答 （1）證明：∵AB∥CD且AB=CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO=OC，
又∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵AB⊥平面PAC，∴AB⊥PO，
∴PO⊥平面ABCD，
∴平面PAC⊥平面ABCD；
（2）解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖，
設(shè)PA=a，則PC=CD=a，AD=2a，
則AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$a，
∴A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，$\sqrt{3}$a，0），
D（-a，$\sqrt{3}$a，0），P（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），E（-$\frac{1}{2}$a，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a，$\frac{1}{4}$a），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-a，$\sqrt{3}$a，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3}{2}$a，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a，$\frac{1}{4}$a），$\overrightarrow{BP}$=（-a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），
設(shè)平面EBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\sqrt{3}ay=0}\\{-\frac{3}{2}ax+\frac{3\sqrt{3}}{4}ay+\frac{1}{4}az=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，3$\sqrt{3}$），
設(shè)平面BCP的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\sqrt{3}ay=0}\\{-ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay+\frac{1}{2}az=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+1+9}{\sqrt{3+1+27}•\sqrt{3+1+3}}$=$\frac{13\sqrt{217}}{217}$，
∴所求銳二面角E-BC-P的余弦值為$\frac{13\sqrt{217}}{217}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，面面垂直的判定，二面角，數(shù)量積運(yùn)算，勾股定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題．