Question

【題目】如圖，直三棱柱 中， 分別是 的中點(diǎn)， ．
(Ⅰ)證明： ∥平面 ；
(Ⅱ)求銳二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】解：

(Ⅰ)連結(jié) ,交 于點(diǎn) ，連結(jié) ,則 為 的中點(diǎn)，因?yàn)? 為 的中點(diǎn)，所以 ∥ ,又因?yàn)? 平面 , 平面 , ∥平面

(Ⅱ)由 ，可知 ,以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 方向?yàn)? 軸正方向， 方向?yàn)? 軸正方向， 方向?yàn)? 軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 ，

則 ,

, ,

設(shè) 是平面 的法向量，則 即

可取 .

同理，設(shè) 是平面 的法向量，則 ，

可取 .從而

所以銳二面角 的余弦值為

【解析】（I）證明線面平行，關(guān)鍵是證明線面平行，因此連結(jié) ,交 于點(diǎn) O,再利用三角形相似即可。
（II）在空間求二面角，我們一般是建系求點(diǎn)，得法向量，再應(yīng)用夾角公式即可。
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．