【題目】如圖，斜三棱柱中，，，，D是的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

1取AB的中點M，連接CM，，由已知求解三角形可得，，由直線與平面垂直的判定可得平面ABC，從而得到平面平面ABC；

2設(shè)與BD交于點O，E為BC的中點，則結(jié)合1可證得平面，得到平面平面過O作于N，則即為所求角，再求解三角形可得直線DB與平面所成角的正弦值．

（1）取中點M，連結(jié)，如圖

因為，故，所以，

又因為，所以，且，

所以，

所以，所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）設(shè)與相交于O，過O作于N

E為的中點，則，所以平面，

所以平面平面，

因為，則即為所求的角，

易知為等腰直角三角形，且O為其重心，

故，，

又因為與相似，

所以，

所以．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正項數(shù)列滿的前項和為，且滿足.數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列、的通項公式；

（2）記數(shù)列滿足設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中，，平面平面，四邊形是菱形，.

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知多面體中，四邊形為平行四邊形， ，且， ， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）若，直線與平面夾角的正弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年1月10日，中國工程院院士黃旭華和中國科學院院士曾慶存榮獲2019年度國家最高科學技術(shù)獎.曾慶存院士是國際數(shù)值天氣預(yù)報奠基人之一，他的算法是世界數(shù)值天氣預(yù)報核心技術(shù)的基礎(chǔ)，在氣象預(yù)報中，過往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)至關(guān)重要，如圖是根據(jù)甲地過去50年的氣象記錄所繪制的每年高溫天數(shù)(若某天氣溫達到35 ℃及以上，則稱之為高溫天)的頻率分布直方圖.若某年的高溫天達到15天及以上，則稱該年為高溫年，假設(shè)每年是否為高溫年相互獨立，以這50年中每年高溫天數(shù)的頻率作為今后每年是否為高溫年的概率.

（1）求今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率.

（2）某同學在位于甲地的大學里勤工儉學，成為了校內(nèi)奶茶店(消費區(qū)在戶外)的店長，為了減少高溫年帶來的損失，該同學現(xiàn)在有兩種方案選擇：方案一：不購買遮陽傘，一旦某年為高溫年，則預(yù)計當年的收入會減少6000元；方案二：購買一些遮陽傘，費用為5000元，可使用4年，一旦某年為高溫年，則預(yù)計當年的收入會增加1000元.以4年為期，試分析該同學是否應(yīng)該購買遮陽傘？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當時武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護物資庫存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機，南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護物資，得知消息后，立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計2000輛汽車，通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數(shù)分布表如下：

所用的時間（單位：小時）

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時間送達這批物資，來確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元，且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬元（其他費用忽略不計），以上費用均由生產(chǎn)商承擔，作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達時間分別計分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達時間相互獨立，互不影響）：

到達時間與約定時間的差x（單位：小時）

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準備根據(jù)運輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運輸物資，記該生產(chǎn)商在此次援助活動中援助總額為Y（萬元），求隨機變量Y的期望值，（援助總額一次性費用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，E是以AB為直徑的半圓O上異于A、B的點，矩形ABCD所在的平面垂直于半圓O所在的平面，且AB=2AD=2.

（1）求證：；

（2）若異面直線AE和DC所成的角為，求平面DCE與平面AEB所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小趙和小王約定在早上至之間到某公交站搭乘公交車去上學，已知在這段時間內(nèi)，共有班公交車到達該站，到站的時間分別為，，如果他們約定見車就搭乘，則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學的概率為__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，四點，，，中恰有三個點在橢圓C上，左、右焦點分別為F1、F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過左焦點F1且不平行坐標軸的直線l交橢圓于P、Q兩點，若PQ的中點為N，O為原點，直線ON交直線x＝﹣3于點M，求的最大值．

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同步練習冊答案