Question

如圖1在等腰梯形B中，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，E是AB的中點，F(xiàn)是DE的中點，沿直線DE將△ADE翻折，使二面角A-DE-B為60°（如圖2）．

（Ⅰ）證明：FC不可能與AB垂直；
（Ⅱ）取AB的中點G，求證：EG∥面AFC；
（Ⅲ）求AB與面BCDE所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）假設(shè)FC⊥AB，推出FC與AC成60°，說明假設(shè)不成立，即可證明：FC不可能與AB垂直；
（Ⅱ）取AB的中點G，取AC中點H，連FH，GH，利用直線與平面平行的判定定理證明EG∥面AFC；
（Ⅲ）取FC中點M，說明∠ABM為AB與面BCDE所成角．在△ABM中，求AB與面BCDE所成角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）證：假設(shè)FC⊥AB，由已知平面圖形得FC⊥AB，
∴FC⊥面ACB，
∴FC⊥AC
由已知得∠AFC為A-DE-B的平面角60°，
又AF=FC∴△AFC為正三角形，
即FC與AC成60°∴假設(shè)不成立．
∴FC不可能與AB垂直．----------------------------------（5分）
（Ⅱ）取AC中點H，連FH，GH，
∴GH∥FE∥BC且GH=FE=

1

2

BC
即四邊形EFHG為平行四邊形∴FH∥EG，EG?面AFC，F(xiàn)H?面AFC，
∴EG∥面AFC------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）由已知得面AFC⊥面BCDE，取FC中點M，
得到AM⊥FC∴AM⊥面BCDE，
∴∠ABM為AB與面BCDE所成角．
記BC=a，則FC=

3 a

2

，
在△ABM中，
∴AM=

3a

4

，BM=

19 a

4

∴tan∠ABM=

3 19

19

-------（15分）

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，線面所成角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力．