Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在（0，-3）點處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值．
（3）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在（0，-3）點處的切線與直線2x+y=0平行，知

f′(1)=2a+b=0 f′(0)=b=-2

，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=x²-2x-3，知g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得x1=

1

3

，x₂=1．列表討論能求出函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值．
（3）由g（0）=0，g（2）=2，結(jié)合（2）的結(jié)論，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-3在x=1處取得極值，且在（0，-3）點處的切線與直線2x+y=0平行，
∴

f′(1)=2a+b=0 f′(0)=b=-2

，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3．
（2）∵f（x）=x²-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x³-2x²+x，
所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得x1=

1

3

，x₂=1．

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值 4 27	↓	極小值0	↑

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

1

3

），（1，+∞）．在x₂=1有極小值為0．
在x1=

1

3

有極大值

4

27

．
（3）∵g（0）=0，g（2）=2，
∴由（2）知：函數(shù)g（x）的最大值為2，最小值為0．

點評：本題考查導數(shù)在求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．