Question

18．如圖，為了開(kāi)發(fā)某森林區(qū)，某測(cè)量人員身處這個(gè)森林區(qū)一條河的南岸，為了測(cè)量河對(duì)岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，同時(shí)由于樹(shù)木的遮擋，不可能分別在兩個(gè)不同地點(diǎn)同時(shí)觀察到點(diǎn)A，B；但她在南岸找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；已知A，B，C，D，E在同一水平面內(nèi)并測(cè)量得到數(shù)據(jù)：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（km）．
（I）求AB之間的距離；
（Ⅱ）若計(jì)劃由A向B建一條直線公路，再由點(diǎn)C處向公路AB建一條空中滑索，求滑索的最短長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （I）求出AC，通過(guò)正弦定理求出BC，然后利用余弦定理求出AB；
（Ⅱ）利用等面積，求滑索的最短長(zhǎng)度．

解答 解：依題意知，在RT△ACD中，AC=DCtan∠ADC=$\sqrt{3}$
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°
由正弦定理得BC=$\frac{CE}{sin∠CBE}•sin∠CEB$=$\sqrt{2}$
∵cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
在△ABC中，由余弦定理AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=3+2-2•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=2-$\sqrt{3}$
∴AB=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$（km）；
（Ⅱ）設(shè)滑索的最短長(zhǎng)度是d，則由等面積可得$\frac{1}{2}•\sqrt{3}•\sqrt{2}•$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$d，
∴d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的求法，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．