Question

在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是（-1,0）,(1,0),點(diǎn)是的重心，軸上一點(diǎn)滿足，且.
（1）求的頂點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）不過點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、,當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn).

Answer 1

(1)  (2) ,直線過定點(diǎn)

解析試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ae/1/x9pos.png" style="vertical-align:middle;" />為的重心，故點(diǎn)坐標(biāo)為.
由點(diǎn)在軸上且知，點(diǎn)的坐標(biāo)為,                   ……2分          
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/08/f/jencm1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即.
故的頂點(diǎn)的軌跡的方程是.                  ……4分
(2)設(shè)直線與的兩交點(diǎn)為.
由消去得，
則,
且,.                                     ……8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/10/7/1fmyc3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,
故，
整理得.解得.                           ……10分
①當(dāng)時(shí)=，直線過點(diǎn)（-1，0）不合題意舍去。
②當(dāng)時(shí)，=，直線過點(diǎn).
綜上所述,直線過定點(diǎn).                                   ……12分
考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系.
點(diǎn)評(píng)：求曲線方程時(shí)，不要忘記驗(yàn)證是否有限制條件；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般離不開直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，此時(shí)不要忘記驗(yàn)證判別式大于零.