Question

已知函數f（x）=（2x²-kx+k）•e^-x．
（1）當k為何值時，f（x）無極值；
（2）試確定實數k的值，使f（x）的極小值為0．

Answer 1

【答案】分析：對函數求導整理可得，
（1）f（x）無極值?函數沒有單調性的改變?f′（x）≤0恒成立，從而可求k
（2）由（1）可得k≠4，分k＞4，k＜4討論函數的單調性，進而求出函數的極小值，使其滿足為0，從而可求k
解答：解：（1）∵f′（x）=（4x-k）e^-x-（2x²-kx+k）e^-x
=[-2x²+（k+4）x-2k]e^-x=
∴k=4時，f′（x）=-2（x-2）²e^-x≤0，此時，f（x）無極值．（5分）
（2）當k≠4時，由f′（x）=0得x=2或．
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：
①當k＜4，即時

②當k＞4，即時

∴k＜4時，由得，
∴k=0k＞4時，由f（2）=0得8-k=0，∴k=8
綜上所述，k=0或8時，f（x）有極小值0．（12分）
點評：本題主要考查了導數的應用：利用導數求函數的單調性及函數的最值，而利用導數判定時，關鍵要看導函數的符號的變化．屬于基礎知識的考查．