Question

給出以下命題：①函數(shù)f（x）=|log₂x²|既無最大值也無最小值；
②函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|的圖象關于直線x=1對稱；
③若函數(shù)f（x）的定義域為（0，1），則函數(shù)f（x²）的定義域為（-1，1）；
④若函數(shù)f（x）滿足|f（-x）|=|f（x）|，則函數(shù)f（x）或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)；
⑤設定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，則函數(shù)F（x）=f（x）-x在R上遞增．其中正確的命題是

 

．（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行判斷；
②根據(jù)對稱軸的公式進行判斷；
③根據(jù)查函數(shù)的定義域求抽象函數(shù)的定義域，進行判斷；
④特殊函數(shù)常數(shù)函數(shù)，對其判斷；
⑤用定義法判斷則函數(shù)F（x）=f（x）-x在R上是否為遞增；

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=|log₂x²|≥0，顯然有最小值0，故①錯誤；
②∵函數(shù)f（x）=x²-2x-3，的對稱軸x=1，因為函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|與函數(shù)f（x）=x²-2x-3對稱軸一樣，∴函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|的圖象關于直線x=1對稱，故②正確；
③∵函數(shù)y=f（x）的定義域是（0，1），∴函數(shù) f（x²）中0＜x²＜1，函數(shù)f（x²）的定義域為（-1，0）∪（0，1）．故③不正確
④∵|f（-x）|=|f（x）|，∴f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，故④正確；
⑤∵對任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，
∴F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂=f（x₁）-f（x₂）-（x₁-x₂）＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂），
∴函數(shù)F（x）=f（x）-x在R上遞增．
故⑤正確；
故正確的命題是②④⑤．
故答案為：②④⑤．

點評：本題主要考查二次函數(shù)，以及奇偶函數(shù)的性質(zhì)，用定義法判斷函數(shù)的增減性，知識點比較多比較全面，是一道小型綜合題，難度不是很大