Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并給出證明；
（2）若存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求a；
（3）對于（2）中的a，若f（x）≥

m

2x

，當x∈[2.3]恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，由定義法能推導出f（x₁）-f（x₂）＜0，從而得到不論a為何實數(shù)，f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（2）由f（-x）=-f（x），得a-

1

2-x+1

=a-

1

2x+1

，由此能示出a．
（3）由條件可得m≤2^x（1-

2

2x+1

）=（2^x+1）+

2

2x+1

-3恒成立，從而m≤（2^x+1）+

2

2x+1

-3的最小值，x∈[2，3]，由此能求出m的最大值．

解答： 解：（1）不論a為何實數(shù)，f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(a-

1

2x1+1

)-(a-

1

2x2+1

)
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由x₁＜x₂，知0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x20，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴不論a為何實數(shù)，f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（2）∵存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴由f（-x）=-f（x），得a-

1

2-x+1

=a-

1

2x+1

，
解得a=1．
（3）由條件可得m≤2^x（1-

2

2x+1

）=（2^x+1）+

2

2x+1

-3恒成立，
m≤（2^x+1）+

2

2x+1

-3恒成立，
m≤（2^x+1）+

2

2x+1

-3的最小值，x∈[2，3]，
設(shè)t=2^x+1，則t∈[5，9]，函數(shù)g（t）=t+

2

t

-3在[5，9]上單調(diào)遞增，
∴g（t）的最小值是g（5）=

12

5

，m≤

12

5

，
∴m的最大值為

12

5

．

點評：本題考查函數(shù)f（x）的單調(diào)性的判斷與證明，考查實數(shù)值的求法，考查使不等式恒成立的實數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．