Question

已知函數(shù)f（x）=

1

1+x2

（I）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）確定函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論．
（Ⅲ）若對(duì)任意x∈[1，2]都有f（x）≤

a

2

-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)增減函數(shù)的定義進(jìn)行判斷和證明；
（3）先求出函數(shù)的最大值，只要最大值滿足就可以了．

解答： 解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)為f（x）=

1

1+x2

所以定義域?yàn)閧x|∈R}---------1
f（-x）=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)．-----------------3
（Ⅱ）在區(qū)間（-∞，0）上取x₁，x₂且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

(x2-x1)(x2+x1)

(x12+1)(x22+1)

-------------------------4
----------------------6
因?yàn)?span id="pcu3ofk" class="MathJye">x12+1＞0，x12+1＞0，且x₁＜x₂，∴x₂+x₁＜0，x₂-x₁＞0-----------8
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．--------------------10
（Ⅲ）f(x)max=f(1)≤

a

2

-1即可，---------------------12
易得a≥3--------------14

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及恒成立問題，屬于中檔題．