Question

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．
（1）求證：AP⊥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直得PC⊥BD，由等腰三角形性質(zhì)得BD⊥AC，從而得到BD⊥平面PAC，進(jìn)而得BD⊥PA．由此能證明AP⊥平面BDE．
（2）由線面垂直得BD⊥DE，由中位線定理得DF∥AP，由此能證明DE⊥平面BDF，從而得到平面BDE⊥平面BDF．
（3）設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h₁和h₂，則h₁：h₂=EP：AP=2：3，由此能求出截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分體積的比．

解答： （1）證明：∵PC⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴PC⊥BD，由AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，得BD⊥AC，
又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC，
又PA∩平面PAC，∴BD⊥PA．
由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，
∴AP⊥平面BDE．…（4分）
（2）證明：由BD⊥平面PAC，DE?平面PAC，得BD⊥DE，
由D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，得DF∥AP，
由已知：DE⊥AP，∴DE⊥DF，
BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF，
又DE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BDF．（8分）
（3）解：設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)A到平面PBC的距離分別為h₁和h₂，
則h₁：h₂=EP：AP=2：3，
∴

VP-EBF

VB-ACEF

=

VE-PBF

VB-ACEF

=

1 3 •h1•S△PBF

1 3 •h2•S△PBC- 1 3 •h1S△PBF

=

2

3×2-2

=

1

2

．
故截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分體積的比為1：2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．