Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）[sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{3}$）]，求f（x）的值域和最小正周期．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變化的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，利用周期公式可求最小正周期，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得值域．

解答 解：∵f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）[sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{3}$）]
=2cos（x+$\frac{π}{3}$）sin（x+$\frac{π}{3}$）-2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{3}$）]
=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
∴由sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$∈[-2-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，即f（x）的值域?yàn)椋篬-2-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變化的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識(shí)的考查．