Question

【題目】已知函數(shù)g（x）= +g（x）．
（1）試判斷g（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）有唯一的零點(diǎn)x0 ， 試求[x0]的值．（注：[x]為取整函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.3]=0，[2.6]=2，[﹣1.4]=﹣2；以下數(shù)據(jù)供參考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

② 當(dāng)a≥0時(shí)，g'（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；

②當(dāng)a＜0時(shí)，由g'（x）=0，解得 ，

當(dāng) 時(shí)，g'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)，g'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增

（2）解：f（x）=x2+g（x），其定義域?yàn)椋?，+∞）．

，

令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），h'（x）=6x2﹣a，

當(dāng)a＜0時(shí)，h'（x）＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，

∴函數(shù)h（x）在（0，1）內(nèi)至少存在一個(gè)變號零點(diǎn)x0，且x0也是f'（x）的變號零點(diǎn)，

此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極值．

當(dāng)a≥0時(shí)，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0恒成立，

∴函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f（x）無極值

綜上可得：f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極值時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）

（3）解：∵a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）

由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞0，∴x0＞1．

又f（x）在區(qū)間（1，+∞）上只有一個(gè)極小值點(diǎn)記為x1，

且x∈（1，x1）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

x∈（x1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

由題意可知：x1即為x0．

∴ ，∴ 消去可得： ，

即

令 ，則t（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增

又∵

由零點(diǎn)存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0

∴2＜x0＜3∴[x0]=2

【解析】（1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），求出導(dǎo)數(shù)，討論a的符號，判斷單調(diào)性，即可得到所求a的范圍；（3）由（2）可知：f（1）=3知x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞0，則x0＞1，討論f（x）在x＞1的單調(diào)性，再由零點(diǎn)的定義和極值點(diǎn)的定義，可得x0的方程，構(gòu)造函數(shù) ，判斷單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0，即可得到所求值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．