Question

設(shè)A、B為橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上任意兩點，O為坐標(biāo)原點，則“OA⊥OB”是“O到直線AB的距離為

12

5

”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分又不必要條件

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線BA的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．與橢圓的方程聯(lián)立可得（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0，△＞0，由于OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得25m²=144（1+k²）．O到直線AB的距離為

12

5

?

|m|

1+k2

=

12

5

?25m²=144（1+k²）．當(dāng)直線BA的斜率不存在時也成立．
即可得出．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線BA的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
聯(lián)立

y=kx+m x2 16 + y2 9 =1

，化為（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=

-32km

9+16k2

，x₁x₂=

16m2-144

9+16k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

(1+k2)(16m2-144)

9+16k2

+

-32k2m2

9+16k2

+m²=0，
化為25m²=144（1+k²）．
O到直線AB的距離為

12

5

?

|m|

1+k2

=

12

5

?25m²=144（1+k²）．
當(dāng)直線BA的斜率不存在時也成立．
因此“OA⊥OB”是“O到直線AB的距離為

12

5

”的充要條件．
故選：C．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題=轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點到直線的距離公式、充要條件的判定，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．