Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+（k-1）x-k+$\frac{3}{2}$，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）的圖象在（1，0）處的切線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，證明：f（x）+g（x）＞0；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）+g′（x），若h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），且h（x₁）+h（x₂）＜$\frac{7}{2}$，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得g（x）的圖象在（1，0）處的切線斜率和切點(diǎn)，求得切線方程，聯(lián)立f（x），運(yùn)用判別式為0，即可得到k的值；
（Ⅱ）方法一、求得F（x）=f（x）+g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最小值F（x₀），判斷最小值大于0即可；方法二、分別求得f（x）和g（x）的最小值，即可得證；
（Ⅲ）求出h（x）的解析式，求得h（x）的導(dǎo)數(shù)，要使h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，需x²+（k-1）x+1=0有兩個(gè)不等的正根，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，可得k的范圍，再由h（x₁）+h（x₂）＜$\frac{7}{2}$，化簡(jiǎn)整理可得k的不等式，解得k的范圍，求交集即可得到k的范圍．

解答 （Ⅰ）解：g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）=1+lnx，
函數(shù)g（x）的圖象在（1，0）處的切線斜率為g′（1）=1，切點(diǎn)為（1，0），
則直線l：y=x-1，
聯(lián)立y=$\frac{1}{2}{x^2}$+（k-1）x-k+$\frac{3}{2}$，可得x²+2（k-2）x-2k+5=0，
由l與f（x）的圖象相切，可得△=4（k-2）²-4（5-2k）=0，
解得k=1±$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）證法一：當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）=xlnx+$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$，
F′（x）=lnx+x，x＞0，顯然F′（x）在（0，+∞）遞增，
設(shè)F′（x₀）=0，即lnx₀+x₀=0，易得x₀∈（0，1），
當(dāng)x∈（0，x₀），F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，當(dāng)x∈（x₀，+∞），F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
F（x）的最小值為F（x₀），且為x₀lnx₀++$\frac{1}{2}$x₀²-x₀+$\frac{3}{2}$=x₀（-x₀+$\frac{1}{2}$x₀-1）$+\frac{3}{2}$
=-$\frac{1}{2}$x₀²-x₀+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x₀+3）（x₀-1），由x₀∈（0，1），F(xiàn)（x₀）＞0，
故F（x）＞0恒成立，即f（x）+g（x）＞0恒成立；
證法二：g′（x）=1+lnx，x∈（0，$\frac{1}{e}$），g′（x）＜0，g（x）遞減，
x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），g′（x）＞0，g（x）遞增，
則g（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得最小值-$\frac{1}{e}$，即g（x）$≥-\frac{1}{e}$，
又k=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+1≥1，
則f（x）+g（x）＞1-$\frac{1}{e}$＞0恒成立；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）+g′（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+（k-1）x-k+$\frac{5}{2}$，x＞0，
h′（x）=$\frac{1}{x}$+x+k-1=$\frac{{x}^{2}+（k-1）x+1}{x}$，
要使h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，需x²+（k-1）x+1=0有兩個(gè)不等的正根，
則△=（k-1）²-4＞0，且-（k-1）＞0，解得k＜-1．
又x₁+x₂=-（k-1），x₁x₂=1，x₁＜x₂，
則x∈（0，x₁），h′（x）＞0，h（x）遞增；x∈（x₁，x₂），h′（x）＜0，h（x）遞減；
x∈（x₂，+∞），h′（x）＞0，h（x）遞增；
x₁，x₂即為h（x）的極大值、極小值點(diǎn)．
而h（x₁）+h）（x₂）=lnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²+（k-1）x₁-k+$\frac{5}{2}$+lnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²+（k-1）x₂-k+$\frac{5}{2}$
=ln（x₁x₂）+$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-2（x₁+x₂）]+（k-1）（x₁+x₂）-2k+5
=-$\frac{1}{2}$k²-k+$\frac{7}{2}$，
所以-$\frac{1}{2}$k²-k+$\frac{7}{2}$＜$\frac{7}{2}$，解得k＜-2或k＞0．
綜上可得，k的范圍是（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，不等式恒成立思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于難題．