Question

將邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形DBCE．設(shè)剪成的小正三角形ADE的邊長(zhǎng)為x，記T=

(梯形DBCE的周長(zhǎng))2

梯形DBCE的面積

（1）求T關(guān)于x的表達(dá)式以及x的取值范圍；
（2）求T的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)剪成的小正三角形ADE的邊長(zhǎng)為x，則BD=EC=1-x，根據(jù)圖形求出梯形的面積，周長(zhǎng)，即可求出T的式子，
（2）求導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷最值，求出即可．

解答： 解：（1）設(shè)剪成的小正三角形ADE的邊長(zhǎng)為x，
則BD=EC=1-x，
所以梯形BDEC的面積=

1

2

×（x+1）×

3

2

（1-x）=

3

4

（1-x²）
梯形BDEC的周長(zhǎng)=2（1-x）x+1=3-x
∵記T=

(梯形DBCE的周長(zhǎng))2

梯形DBCE的面積

∴T=

4

3

•

(3-x)2

1-x2

，（x∈（0，1））
（2）求導(dǎo)數(shù)得：T′=

4

3

•

2(3-x)(3X-1)

(1-x2 )2

，x∈（0，1）
T′=0，得x=3，x=

1

3

，
T′＞0，

1

3

＜x＜3，
T′＜0，x＜

1

3

，或x＞3，
∵x∈（0，1）
∴（0，

1

3

）上遞減，（

1

3

，1）上遞增
所以當(dāng)x=

1

3

時(shí)，T的最小值T（

1

3

）=

32

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最值問(wèn)題，屬于中檔題．