是否存在圓錐曲線C，同時滿足下列兩個條件：

         （1）原點O及直線為曲線C的焦點和相應(yīng)的準(zhǔn)線；

         （2）被直線垂直平分的直線截曲線C所得的弦長恰好為。

         若存在，求出曲線C的方程，若不存在，說明理由。

                  

解：設(shè)存在符合題設(shè)的圓錐曲線C，此曲線離心率為（>0），P（x，y）是曲線C上任一點。

         由圓錐曲線的定義有

         化簡整理得，                ①

         設(shè)曲線C被直線垂直平分，其弦長為的弦所在直線方程為,這弦的兩個端點

         將代入①式中，消去y得

                                ②

         由題意0，

        

         由此可解得AB的中點D的坐標(biāo)為

        

         由條件（2），中點D在，于是有：

        

         解③，代入④得。

         經(jīng)檢驗符合題意，因此符合條件的曲線C存在，其方程為。


解析:

這是一道開放性的題目，探求滿足上述兩個條件的圓錐曲線是否存在，本題的難點是題目沒有具體的給出圓錐曲線的形狀，由條件（1）給出焦點和相應(yīng)的準(zhǔn)線，因此可考慮用圓錐曲線統(tǒng)一定義，設(shè)離心率為，通過計算，推理，探求的存在性。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北）設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．當(dāng)點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州三模）如圖，長為m+1（m＞0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上一點，且
AM
=m
MB
．
（1）求點M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；
（2）設(shè)過點Q（
1
2
，0）且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點．試問在x軸上是否存在定點P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高三數(shù)學(xué)教學(xué)與測試 題型：044

是否存在一條圓錐曲線C，同時滿足下列兩個條件：(1)以點F(－1，0)為焦點，以直線x＝－4為準(zhǔn)線；(2)與拋物線＝x－2有且只有一個公共點．若存在，求出曲線C的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足當(dāng)點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標(biāo)。

（2）過原點斜率為K的直線交曲線C于P，Q兩點，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m,使得對任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案