12．如圖，已知△ABC中，O為AC中點(diǎn)，∠ABC=90°，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA=PB=PC，證明：平面PAC⊥平面ABC．

分析 根據(jù)P為平面ABC外一點(diǎn)且PA=PB=PC可知點(diǎn)P在底面上的投影必經(jīng)過(guò)AC中點(diǎn)，從而平面PAC⊥平面ABC．

解答 證明：P為平面ABC外一點(diǎn)且PA=PB=PC可知點(diǎn)P在底面上的投影為△ABC的外心
而∠ABC=90°，則△ABC的外心是AC中點(diǎn)，
而P在ABC平面外，則P必在平面ABC的經(jīng)過(guò)AC中點(diǎn)的垂線上，
因此平面PAC⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的內(nèi)心以及二面角的平面角及求法，解決本題的關(guān)鍵就是理解點(diǎn)P在底面上的投影是底面三角形的外心，同時(shí)考查了空間想象能力．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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