Question

某分公司有甲、乙、丙三個(gè)項(xiàng)目向總公司申報(bào)，總公司有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)部門(mén)進(jìn)行評(píng)估審批，已知這三個(gè)部門(mén)的審批通過(guò)率分別為

1

2

、

2

3

、

2

3

．只要有兩個(gè)部門(mén)通過(guò)就能立項(xiàng)，立項(xiàng)的每個(gè)項(xiàng)目能獲得總公司100萬(wàn)的投資．
（1）求甲項(xiàng)目能立項(xiàng)的概率；
（2）設(shè)該分公司這次申報(bào)的三個(gè)項(xiàng)目獲得的總投資額為X，求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)部門(mén)審批通過(guò)分別計(jì)為事件A，B，C，利用甲項(xiàng)目能立項(xiàng)的概率為：P=P(ABC+AB

.

C

+A

.

B

C+

.

A

BC)，即可得出結(jié)論；
（2）X的可能取值為0，100，200，300，求出相應(yīng)的概率，可得X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)部門(mén)審批通過(guò)分別計(jì)為事件A，B，C，
則P（A）=

1

2

，P（B）=

2

3

，P（C）=

2

3

．…（2分）
甲項(xiàng)目能立項(xiàng)的概率為：P=P(ABC+AB

.

C

+A

.

B

C+

.

A

BC)
=

1

2

×

2

3

×

2

3

+

1

2

×

2

3

×

1

3

+

1

2

×

1

3

×

2

3

+

1

2

×

2

3

×

2

3

=

2

3

∴甲項(xiàng)目能立項(xiàng)的概率為

2

3

；　…（6分）
（2）X的可能取值為0，100，200，300．　　　　　　 　　　　…（7分）
P(X=0)=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，P(X=100)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2=

2

9

，
P(X=200)=

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

=

4

9

，P(X=300)=

C

3 3

×(

2

3

)3=

8

27

，…（9分）
X的概率分布列為：

X	0	100	200	300
P	1 27	2 9	4 9	8 27

…（10分）
X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×

1

27

+100×

2

9

+200×

4

9

+300×

8

27

=200（萬(wàn)）．…（12分）
另解：設(shè)通過(guò)的項(xiàng)目數(shù)為變量m，則m～B（3，

2

3

），X=100m，EX=100×3×

2

3

=200萬(wàn)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、離散型隨機(jī)變量的期望計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．