Question

QQ先生的魚(yú)缸中有7條魚(yú)，其中6條青魚(yú)和1條黑魚(yú)，計(jì)劃從當(dāng)天開(kāi)始，每天中午從該魚(yú)缸中抓出1條魚(yú)（每條魚(yú)被抓到的概率相同）并吃掉．若黑魚(yú)未被抓出，則它每晚要吃掉1條青魚(yú)（規(guī)定青魚(yú)不吃魚(yú)）．
（1）求這7條魚(yú)中至少有5條被QQ先生吃掉的概率；
（2）以ξ表示這7條魚(yú)中被QQ先生吃掉的魚(yú)的條數(shù)，求Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專(zhuān)題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）確定最壞的情況的概率，利用對(duì)立事件的概率公式，可求這7條魚(yú)中至少有5條被QQ先生吃掉的概率；
（2）QQ先生能吃到的魚(yú)的條數(shù)ξ可取4，5，6，7，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）QQ先生能吃到的魚(yú)的條數(shù)ξ可取4，5，6，7，最壞的情況是只能吃到4條魚(yú)：前3天各吃掉1條青魚(yú)，其余3條青魚(yú)被黑魚(yú)吃掉，第4天QQ先生吃掉黑魚(yú)，其概率為P(ξ=4)=

6

7

×

4

5

×

2

3

=

16

35

故QQ先生至少吃掉5條魚(yú)的概率是P(ξ≥5)=1-P(ξ=4)=

19

35

．
（2）與（1）相仿地可得，（6分）
P(ξ=5)=

6

7

×

4

5

×

1

3

=

8

35

，P(ξ=6)=

6

7

×

1

5

=

6

35

，P(ξ=7)=

1

7

=

5

35

故Eξ=

4×16

35

+

5×8

35

+

6×6

35

+

7×5

35

=5，
故所求期望值為5．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率知識(shí)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，正確求概率是關(guān)鍵．