Question

（2012•許昌二模）設(shè)F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過F且與拋物線C對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線C截得線段長(zhǎng)為4．
（1）求拋物線C方程．
（2）設(shè)A、B為拋物線C上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)且滿足FA⊥FB，延長(zhǎng)AF、BF分別拋物線C于點(diǎn)C、D．求：四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)過F且與拋物線C對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線C截得線段長(zhǎng)為4，可得2p=8，從而可得拋物線C的方程；
（2）設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，計(jì)算出|AC|、|BD|，可得S=

1

2

|AC||BD|=8（k2+

1

k2

+2），利用基本不等式，即可求四邊形ABCD面積的最小值．

解答：解：（1）由條件得2p=4，∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）兩直線垂直，焦點(diǎn)為（1，0），不妨設(shè)兩直線為：y=k（x-1）（k≠0）與ky=1-x
y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立，可得k² x²-2（k²+2）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則|x₁-x₂|=

△

|a|

=

4 k2+1

k2

∴弦長(zhǎng)|AC|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4(k2+1)

k2

同理可得，弦長(zhǎng)|BD|=4（k²+1）
∵兩條直線相互垂直，∴這個(gè)四邊形的面積S=

1

2

|AC||BD|=8（k2+

1

k2

+2）≥8（2

k2• 1 k2

+2）=32
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取到面積最小值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．