Question

（2012•許昌二模）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的圓心到直線l的距離；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點A、B．若點P的坐標為（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（I）圓C的極坐標方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標公式進行化簡就可求出直角坐標方程，最后再利用三角函數(shù)公式化成參數(shù)方程；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得即t2-3

2

t+4=0，根據(jù)兩交點A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合參數(shù)的幾何意義即得．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=2

5

sinθ，可得x2+y2-2

5

y=0，即圓C的方程為x2+(y-

5

)2=5．
由

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

可得直線l的方程為x+y-

5

-3=0．
所以，圓C的圓心到直線l的距離為

|0+ 5 - 5 -3|

2

=

3 2

2

．         …（5分）
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得(3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，即t2-3

2

t+4=0．
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0．故可設(shè)t₁、t₂是上述方程的兩個實根，
所以

t1+t2=3 2 t1•t2=4.

，又直線l過點P(3，

5

)，
故由上式及t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3

2

．       …（10分）

點評：此題考查學(xué)生會將極坐標方程和參數(shù)方程分別化為直角坐標方程和普通方程，掌握直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是一道中檔題．