Question

6．已知實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a_n+2=|a_n+1|-a_n（n=1，2，…），a₁=a，a₂=b，記集合M={a_n|n∈N^*}．
（Ⅰ）若a=1，b=2，用列舉法寫出集合M；
（Ⅱ）若a＜0，b＜0，判斷數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，且a+b≠0，求集合M的元素個(gè)數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （I）由a₁=a，a₂=b，a_n+2=|a_n+1|-a_n，可得：a₃=1，a₄=1，a₅=0，a₆=1，a₇=1，a₈=0．當(dāng)n≥5時(shí)，a_n+3=a_n．即可得出．
（II）a＜0，b＜0，a_n+2=|a_n+1|-a_n，可得數(shù)列的前11項(xiàng)分別為：a，b，-b-a，-a-2b，-b，a+b，-a，-2a-b，-a-b，a，b，…，a₁₀=a₁，a₁₁=a₂．
即可得出a_n+9=a_n．
（III）對(duì)a，b分類討論：
①若0＜a＜b，則數(shù)列的前5項(xiàng)為a，b，b-a，-a，2a-b，中至少有4項(xiàng)不相同；
②若a＞b＞0，則數(shù)列的前4項(xiàng)為a，b，b-a，a-2b，對(duì)a-2b分類討論即可得出；
③若0＜a=b，或a＞0，b=0，或a=0，b＞0．則由數(shù)列的前7項(xiàng)可知：數(shù)列中至少有4項(xiàng)0，-a，a，2a，或0，-b，b，2b不相同．

解答 解：（I）∵a₁=a，a₂=b，a_n+2=|a_n+1|-a_n，
∴a₃=2-1=1，a₄=|a₃|-a₂=-1，a₅=|a₄|-a₃=0，a₆=|a₅|-a₄=0-（-1）=1，a₇=|a₆|-a₅=1-0=1，a₈=|a₇|-a₆=0．
∴當(dāng)n≥5時(shí)，a_n+3=a_n．
∴M={1，2，-1，0}．
（II）a＜0，b＜0，a_n+2=|a_n+1|-a_n，
∴數(shù)列的前11項(xiàng)分別為：a，b，-b-a，-a-2b，-b，a+b，-a，-2a-b，-a-b，a，b，…，a₁₀=a₁，a₁₁=a₂．
∴a_n+9=a_n．∴數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列．a(chǎn)₁=a_9n+1=a，a₂=a_9n+2=b．其最小周期為9．
（III）對(duì)a，b分類討論：
①若0＜a＜b，則數(shù)列的前5項(xiàng)為a，b，b-a，-a，2a-b，中至少有4項(xiàng)不相同；
②若a＞b＞0，則數(shù)列的前4項(xiàng)為a，b，b-a，a-2b，當(dāng)a-2b≥0時(shí)，數(shù)列的第五項(xiàng)與第六項(xiàng)為：2a-3b，a-b；
當(dāng)a-2b＜0時(shí)，數(shù)列的第五項(xiàng)與第六項(xiàng)為：b，-a+3b；數(shù)列中至少有4項(xiàng)不相同．
③若0＜a=b，或a＞0，b=0，或a=0，b＞0．則由數(shù)列的前7項(xiàng)可知：數(shù)列中至少有4項(xiàng)0，-a，a，2a，或0，-b，b，2b不相同．
綜上，集合M的元素的個(gè)數(shù)不小于4，又由 （1）可知：當(dāng)a=1，b=2時(shí)，集合M的元素個(gè)數(shù)為4，
∴集合M的元素個(gè)數(shù)的最小為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．