【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+pn+q(p,q∈R),且a2 , a3 , a5成等比數(shù)列.
(1)求p,q的值;
(2)若數(shù)列{bn}滿足an+log2n=log2bn , 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

【答案】
(1)

解法一:

當n=1時,a1=S1=1+p+q,

當n≥2時,an=Sn﹣Sn1…(2分)

=n2+pn+q﹣[(n﹣1)2+p(n﹣1)+q]

=2n﹣1+p.

∵{an}是等差數(shù)列,

∴1+p+q=2×1﹣1+p,得q=0.

又a2=3+p,a3=5+p,a5=9+p

∵a2,a3,a5成等比數(shù)列,

,即(5+p)2=(3+p)(9+p),

解得p=﹣1.

解法二:

設等差數(shù)列{an}的公差為d,

,

, ,q=0.

∴d=2,p=a1﹣1,q=0.

∵a2,a3,a5成等比數(shù)列,

解得a1=0.

∴p=﹣1.


(2)

解法一:

由(1)得an=2n﹣2.

∵an+log2n=log2bn,

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn1+bn

=40+2×41+3×42+…+(n﹣1)4n2+n4n1,①

,②

①﹣②得 = =

解法二:

由(1)得an=2n﹣2.

∵an+log2n=log2bn

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn1+bn

=40+2×41+3×42+…+(n﹣1)4n2+n4n1

,

兩邊對x取導數(shù)得,

x0+2x1+3x2+…+nxn1=

令x=4,得


【解析】解法一:(1)a1=S1=1+p+q,an=Sn﹣Sn1=2n﹣1+p,由此求出q=0,由a2 , a3 , a5成等比數(shù)列,得p=﹣1.(2)an=2n﹣2, ,由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn
解法二:(1)由 ,得d=2,p=a1﹣1,q=0.由a2 , a3 , a5成等比數(shù)列,得p=﹣1.(2)an=2n﹣2. ,由 ,兩邊對x取導數(shù)得,由此能求出
【考點精析】掌握數(shù)列的前n項和和等差數(shù)列的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;在等差數(shù)列{an}中,從第2項起,每一項是它相鄰二項的等差中項;相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列.

練習冊系列答案
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