Question

給出下列六個(gè)命題：
（1）若f（x-1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
（2） y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱．
（3）y=f（x+3）的反函數(shù)與y=f^-1（x+3）是相同的函數(shù)．
（4）y=(

1

2

)|x|-sin2x+2009無(wú)最大值也無(wú)最小值．
（5）y=

2tanx

1-tan2x

的周期為π
（6）y=sinx（0≤x≤2π）有對(duì)稱軸兩條，對(duì)稱中心三個(gè)．
則正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、0個(gè)

Answer 1

分析：（1）（2）（3）考查抽象函數(shù)的對(duì)稱性，可以采用特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，
（4）先化簡(jiǎn)，可以看出(

1

2

)|x| ≤1，

1

2

cos2x≤

1

2

，可考慮最大值；
（5）化為y=tan2x，周期可求；（6）注意定義域，可結(jié)合圖象進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）f（x-1）=f（1-x）?f（x-1）=f（-（x-1）），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，命題錯(cuò)誤
（2）取f（x）=x-1，則f（x-1）=x-2，f（1-x）=-x，圖象不關(guān)于直線x=0對(duì)稱，命題錯(cuò)誤
（3）取f（x）=x-1，y=f（x+3）=x+2，y=f^-1（x）=x+1，y=f^-1（x+3）=x+4，命題錯(cuò)誤．
（4）y=(

1

2

)|x|-sin2x+2009=(

1

2

)|x| -

1-cos2x

2

+2009=(

1

2

)|x|+

1

2

cos2x+2009 -

1

2

∵(

1

2

)|x| ≤1，

1

2

cos2x≤

1

2

，且x=0時(shí)同時(shí)取等號(hào)，∴x=0時(shí)，y有最大值，所以命題錯(cuò)誤．
（5）原函數(shù)可化為y=tan2x，周期為

π

2

，命題錯(cuò)誤．
（6）受0≤x≤2π的影響，y=sinx只有一個(gè)對(duì)稱中心．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)和具體函數(shù)的性質(zhì)，問(wèn)題綜合性強(qiáng)．