Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；
（1）若f（1）＞0，判斷f（x）的單調(diào)性并求不等式f（x+2）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，先由奇函數(shù)的性質(zhì)得出k的值，
（1）由f（1）＞0求出a的范圍，得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式；
（2）f（1）=

3

2

得出a的值，將函數(shù)變?yōu)間（x）=2^2x+2^-2x-4 （2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，再利用換元法求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得f（0）=0，從而得k-1=0，即k=1．
（1）由f（1）＞0可得a-

1

a

＞0，解得a＞1，所以f（x）=a^x-a^-x是增函數(shù)，
由f（x+2）+f（x-4）＞0可得f（x+2）＞-f（x-4）=f（4-x），
所以x+2＞4-x，解得x＞3，
即不等式的解集是（3，+∞）．
（2）f（1）=

3

2

得a-

1

a

=

3

2

，解得a=2，故g（x）=2^2x+2^-2x-4 （2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x，它在[1，+∞）上是增函數(shù)，故t≥

3

2

，即g（x）=t2-4t+2，t≥

3

2

．
此函數(shù)的對稱軸是t=2≥

3

2

，故最小值為2²-4×2+2=-2．

點(diǎn)評：本題考查指數(shù)函數(shù)與奇偶性單調(diào)性結(jié)合的題，綜合性強(qiáng)，本題第二小題考查復(fù)函數(shù)最值的求法，換元法解此類題可大大降低難度．