Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，設(shè)A點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，

3π

4

）．
（1）求直線OA及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線OA與曲線C的一個交點(diǎn)為P（不是原點(diǎn)O），過點(diǎn)P作直線OA的垂線l，求直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐標(biāo)方程．由A點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，

3π

4

），可得直角坐標(biāo)為(2cos

3π

4

，2sin

3π

4

)，利用點(diǎn)斜式可得可得直線OA的方程．
（2）把直線OA的方程與曲線C的方程聯(lián)立可得P（-1，1）．利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得直線l的斜率，利用點(diǎn)斜式可得直角坐標(biāo)方程，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直線l的極坐標(biāo)方程．

解答： 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，化為ρ²=2ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2y．
由A點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2，

3π

4

），可得直角坐標(biāo)為(2cos

3π

4

，2sin

3π

4

)，化為A(-

2

，

2

)，可得直線OA的方程為y=-x．
（2）聯(lián)立

y=-x x2+y2=2y

，x≠0，解得

x=-1 y=1

，
∴P（-1，1）．
∵直線OA的斜率為-1，OA⊥l，
∴k_l=1．
∴直線l的方程為：y-1=x+1，化為x-y+2=0．
∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+2=0．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓的交點(diǎn)、點(diǎn)斜式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．