Question

20．如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，點F是PB的中點，點E邊BC上移動．
（1）無論點E在邊BC何處，都有PE⊥AF；
（2）當(dāng)點E為BC的中點時，求點D到平面PAE的距離．

Answer 1

分析 （1）通過證明AF⊥平面PBE即可解決；
（2）由題意，平面PAE⊥平面DAE，點D到平面PAE的距離等于點D到AE的距離，利用等面積可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF?平面PAB
∴AF⊥BE．
又PA=AB=1，點F是PB的中點，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE；
（2）解：由題意，平面PAE⊥平面DAE，
∴點D到平面PAE的距離等于點D到AE的距離，
△DAE中，AD=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
利用等面積可得$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{7}}{2}$h，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 無論是線面平行（垂直）還是面面平行（垂直），都源自于線與線的平行（垂直），這種“高維”向“低維”轉(zhuǎn)化的思想方法，在解題時非常重要，在處理實際問題的過程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的平行（垂直）關(guān)系，再從結(jié)論入手分析所要證明的平行（垂直）關(guān)系，從而架起已知與未知之間的橋梁．