Question

【題目】 已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）已知函數(shù)區(qū)間上的最小值為1，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）求得切線斜率k,點(diǎn)斜式得方程；（2）法一：，由h(x)單調(diào)增，則存在唯一的，，變形，則構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)有唯一解，即可求解；法一：同法一則，利用基本不等式求解即可

（1） ，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；

(2)，，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，存在唯一的，

使得，即 （*），

函數(shù)在上單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，，

由（*）式得，

，顯然是方程的解，

又是單調(diào)減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，

把代入（*）式得，，所求實(shí)數(shù)的值為.

解法2：，，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故存在唯一的，

使得，即 （*），

，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，，

由式得，

= =

,

（當(dāng)且僅當(dāng) =1時(shí)），由得,此時(shí)，

把代入（*）也成立，

∴實(shí)數(shù)的值為.