Question

求函數(shù)f（x）=（4-3a）x²-2x+a在區(qū)間[0，1]上的最大值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)4-3a=0，即a=時(shí)，f（x）=-2x+a為[0，1]上的減函數(shù)，所以f（x）的最大值f（0）=a
（2）當(dāng)4-3a＞0，即a＜時(shí)，函數(shù)圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，因此函數(shù)在x∈[0，1]時(shí)的最大值為f（0）或f（1），
∵f（0）=a，f（1）=4-3a-2+a=2-2a，
∴f（0）-f（1）=3a-2
①當(dāng)a=時(shí)，f（0）=f（1）=，函數(shù)的最大值是；
②當(dāng)a＜時(shí)，f（0）＜f（1），函數(shù)的最大值為f（1）=2-2a
③當(dāng)＜a＜時(shí)，f（0）＞f（1），函數(shù)的最大值為f（0）=a
（3）當(dāng)4-3a＜0，即a＞時(shí)，函數(shù)圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)
∵＜0
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為f（0）=a
綜上所述，得f（x）的最大值為g（a）=．
分析：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類(lèi)討論，再確定二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[0，1]的關(guān)系，即可求得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查含有字母參數(shù)的函數(shù)的最大值，著重考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題