Question

已知△ABC中，∠ABC=30°，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB與平面ABC成45°角．求二面角A—PB—C的正弦值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥上AB于點(diǎn)D， ∵PA⊥平面ABC，CD平面ABC． ∴CD⊥PA，∴CD⊥平面PAB． 作DE⊥PB于E，連結(jié)CE，則CE⊥PB． ∴∠DEC為二面角A—PB—C的平面角．設(shè)AC=m，由PC⊥BC，PA⊥平面ABC得∠ACB=90°,又∠ABC=30°,知BC=m． ∴CD=BCsin30°=m,AB==2m． 由PA⊥平面ABC，知∠PBA為PB與平面ABC所成的角． ∴∠PBA=45°，∴PA=BA=2m． 在Rt△PAC中，PC＝ =． 在Rt△PBC中,PB= =． ∵PB·EC=PC·BC, ∴EC=． 在Rt△ECD中,sinCED=, 即二面角A-PB-C的正弦值為． 點(diǎn)評(píng)：此題作二面角的平面角的方法是：過(guò)二面角的面 PBC內(nèi)的點(diǎn)C向二面角的另一個(gè)面PAB作垂線CD，垂足為 D，然后由D向二面角的棱PB作垂線，垂足為E，連結(jié)CE，由三垂線定理知CE⊥PB，從而∠DEC為二面角的平面角．此種作二面角的方法稱為“垂線法”． “垂線法”是作二面角的平面角的常用方法，應(yīng)當(dāng)重視這種方法．此題也可過(guò)A作AG⊥PC于G(易證AG⊥平面PBC)，利用AG作二面角A— PB—C的平面角．讀者可試一試．