Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=sin\frac{nπ}{3}+{（{-1}）^n}（{n∈{N^*}}）$，則S₂₀₁₅=（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． 0
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=sin\frac{nπ}{3}+{（{-1}）^n}（{n∈{N^*}}）$，可得：a_6k，a_6k-1，a_6k-2，a_6k-3，a_6k-4，a_6k-5．利用其周期性即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=sin\frac{nπ}{3}+{（{-1}）^n}（{n∈{N^*}}）$，
∴a_6k=sin2kπ+（-1）^6k=1，
a_6k-1=$sin（2kπ-\frac{π}{3}）$+（-1）^6k-1=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，
a_6k-2=$sin（2k-\frac{2π}{3}）$+（-1）^6k-2=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
a_6k-3=sin（2k-1）π+（-1）^6k-3=-1，
a_6k-4=$sin（2kπ-\frac{4π}{3}）$+（-1）^6k-4=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
a_6k-5=$sin（2kπ-\frac{5π}{3}）$+（-1）^6k-5=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1．
∴a_6k+a_6k-1+a_6k-2+a_6k-3+a_6k-4+a_6k-5=0．
則S₂₀₁₅=S_6×665+5=S₅=-1．
故選：B．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的周期性、三角函數(shù)的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．