Question

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本是20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要另外投入100元，市場銷售部進(jìn)行調(diào)查后得知，市場對這種產(chǎn)品的年需求量為1000件，且銷售收入函數(shù)g(t)=-

1

2

t2+1000t，其中t是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤t≤1000．（利潤=銷售收入-成本）
（1）若x為年產(chǎn)量，y表示利潤，求y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，工廠的利潤最大，最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤=銷售收入-成本，結(jié)合銷售收入函數(shù)，可得分段函數(shù)；
（2）分段求出函數(shù)的最值，從而可得工廠的利潤最大值．

解答：解：（1）根據(jù)利潤=銷售收入-成本，當(dāng)0≤x≤1000時，t=x，可得y=-

1

2

x²+1000x-20000-100x=-

1

2

x²+900x-20000
當(dāng)x＞1000時，t=1000，y=-

1

2

×1000²+1000²-20000-100x=480000-100x（4分）
∴f（x）=

- 1 2 x2+900x-20000(0≤x≤1000) 480000-100x(x＞1000)

 （ 6分）
（2）當(dāng)0≤x≤1000時，f（x）=-

1

2

x²+900x-20000=-

1

2

（x-900）²+38500
∴x=900時，f（x）_max=38500，
當(dāng)x＞1000時，f（x）=480000-100x為減函數(shù)
∴f（x）＜480000-10000=380000（11分）
∴當(dāng)年產(chǎn)量為900件時，工廠的利潤最大，最大值為385000元．（12分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建函數(shù)，確定函數(shù)的最值．