Question

2．給出下列四個命題：
①已知m、n為直線，α為平面，$\left.\begin{array}{l}{m⊥α}\\{m⊥n}\end{array}\right\}$⇒n∥α
②已知m、n為直線，β為平面，$\left.\begin{array}{l}{m⊥β}\\{n⊥β}\end{array}\right\}$⇒m∥n；
③若關于x的不等式（ax-10）lg（$\frac{a}{x}$）≤0對任意正實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是{a|a=$\sqrt{10}$，a∈R}；
④若a，b∈R，則$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，其中正確的序號是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)空間線面關系的幾何特征和判定方法，可判斷①②的真假；
根據(jù)已知可得a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}ax-10≥0\\ \frac{a}{x}≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}ax-10≤0\\ \frac{a}{x}≤1\end{array}\right.$恒成立，求出a的范圍，可判斷③；
根據(jù)基本不等式，可判斷④．

解答 解：①已知m、n為直線，α為平面，$\left.\begin{array}{l}{m⊥α}\\{m⊥n}\end{array}\right\}$⇒n∥α，或n?α，故錯誤；
②已知m、n為直線，β為平面，由線面垂直的判定定理，可得：$\left.\begin{array}{l}{m⊥β}\\{n⊥β}\end{array}\right\}$⇒m∥n，故正確；
③若關于x的不等式（ax-10）lg（$\frac{a}{x}$）≤0對任意正實數(shù)x恒成立，
則a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}ax-10≥0\\ \frac{a}{x}≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}ax-10≤0\\ \frac{a}{x}≤1\end{array}\right.$恒成立，
解得：a=$\sqrt{10}$，
則a的取值范圍是{a|a=$\sqrt{10}$，a∈R}，故正確；
④若a，b∈R，且a，b同號時，$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2，a，b異號時$\frac{a}$+$\frac{a}$≤-2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=-2，故錯誤；
故正確的命題的序號是：②③，
故答案為：②③

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間線面關系的判定，難度中檔．