Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-1）x+b+1，x∈[a，b]是偶函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）=ax²+（b-1）x+b+1，x∈[a，b]是偶函數(shù)．則f（-x）=f（x），且a+b=0，解得求a，b的值；
（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的圖象上方，即，-x²-2x+2＞m恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-x²-2x+2，求出函數(shù)的最小值，可得實(shí)數(shù)m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+（b-1）x+b+1，x∈[a，b]是偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x），且a+b=0，
即ax²-（b-1）x+b+1=ax²+（b-1）x+b+1，a+b=0，
解得：b=1，a=-1．
（2）由（1）得：f（x）=-x²+2，
若在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的圖象上方，
則在區(qū)間[-1，1]上，-x²+2＞2x+m恒成立，
即在區(qū)間[-1，1]上，-x²-2x+2＞m恒成立，
令h（x）=-x²-2x+2，則函數(shù)的圖象是開(kāi)口朝下，且以直線x=-1為對(duì)稱軸的拋物線，
故h（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值-1，
故m＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．