Question

5．已知直線y=k（x+1）（k＞0）與拋物線C：y²=4x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意數(shù)形結(jié)合可得B為AP中點(diǎn)，OB∥AF．設(shè)BF=m，則OB=m．作BE⊥OF，則垂足E為OF的中點(diǎn)，設(shè)BE=n，
則由m²-n²=$\frac{1}{4}$，m=1+$\sqrt{{m}^{2}{-n}^{2}}$，求得m、n的值，可得k=$\frac{BE}{PE}$=$\frac{n}{1+\frac{1}{2}}$ 的值．

解答 解：由題意利用定義，結(jié)合其他幾何性質(zhì)可得拋物線C：
y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線x=-1．
又直線y=k（x+1）過(guò)定點(diǎn)P（-1，0），
因?yàn)閨FA|=2|FB|，所以B為AP中點(diǎn)，
連接OB，所以O(shè)B∥AF．
設(shè)BF=m，所以，OB=m．
作BE⊥OF，則垂足E為OF的中點(diǎn)，設(shè)BE=n，
則m²-n²=$\frac{1}{4}$，m=1+$\sqrt{{m}^{2}{-n}^{2}}$，求得m=$\frac{3}{2}$、n=$\sqrt{2}$，所以k=$\frac{BE}{PE}$=$\frac{n}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要拋物線的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．