Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁．

（1）求證：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數(shù)．
注意：在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）．

（1）證明：在截面A₁EC內(nèi)，過(guò)E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵

 

∴EG⊥側(cè)面AC₁；取AC的中點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵

 

∴BF⊥側(cè)面AC₁；得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FG．
③∵

 

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵

 

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵

 

∴FG=

1

2

AA1=

1

2

BB1，即BE=

1

2

BB1，故BE=EB1．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征及二面角及其度量，
（1）要證BE=EB₁；即證E為BB₁的中點(diǎn)；由截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁．我們可以在截面A₁EC內(nèi)，過(guò)E作EG⊥A₁C，G是垂足，則易證FG=BE，我們可轉(zhuǎn)化為FG=

1

2

AA1，由中位線性質(zhì)，我們易得答案．
（2）分別延長(zhǎng)CE、C₁B₁交于點(diǎn)D，連接A₁D．我們易得∠CA₁C₁是平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成銳二面角的平面角，解三角形CA₁C₁即可得到答案．

解答：
解：（Ⅰ）①面A₁EC⊥側(cè)面AC₁
②面ABC⊥側(cè)面AC₁
③BE∥側(cè)面AC₁
④BE∥AA₁
⑤AF=FC
（Ⅱ）解：分別延長(zhǎng)CE、C₁B₁交于點(diǎn)D，連接A₁D．
∵EB₁∥CC1，EB1=

1

2

BB1=

1

2

CC1，
∴DB1=

1

2

DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B₁A₁C₁=∠B₁C₁A₁=60°，
∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=

1

2

（180°-∠DB₁A₁）=30°，
∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即DA₁⊥A₁C₁
∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA₁⊥A₁C，
所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．
∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，
∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角為45°

點(diǎn)評(píng)：本小題考查空間線面關(guān)系，正三棱柱的性質(zhì)，邏輯思維能力，空間想象能力及運(yùn)算能力． 求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠CA₁C₁為所求二面角的平面角，通過(guò)解∠CA₁C₁所在的三角形求得∠CA₁C₁．其解題過(guò)程為：作∠CA₁C₁→證∠CA₁C₁是二面角的平面角→計(jì)算∠CA₁C₁，簡(jiǎn)記為“作、證、算”．