Question

13．已知F為拋物線C：y²=4x的焦點，點E在點C的準線上，且在x軸上方，線段EF的垂直平分線于C的準線交于點Q（-1，$\frac{3}{2}$），與C交于點P，則△PEF的面積為（　�。�

• A． 5
• B． 10
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 由拋物線方程求出焦點坐標，設出E的坐標（-1，m），利用EF和QP垂直求得m的值，則EF、QP的方程可求，求出EF的長度，求出P的坐標，由三角形的面積公式求得△PEF的面積．

解答 解：如圖，
由拋物線方程為y²=4x，得F（1，0），設E（-1，m）（m＞0），
則EF中點為G（0，$\frac{m}{2}$），${k}_{EF}=-\frac{m}{2}$，又Q（-1，$\frac{3}{2}$），
∴${k}_{QG}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{m}{2}}{-1-0}=\frac{m-3}{2}$，則$-\frac{m}{2}•\frac{m-3}{2}=-1$，解得：m=4．
∴E（-1，4），
則|EF|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（4-0）^{2}}=2\sqrt{5}$，
直線EF的方程為$\frac{y-0}{4-0}=\frac{x-1}{-1-1}$，化為一般式得：2x+y-2=0．
QG所在直線方程為y-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}（x+1）$，即x-2y+4=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，即P（4，4），
∴P到直線EF的距離為d=$\frac{|2×4+4-2|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$．
則△PEF的面積為$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}=10$．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線的簡單性質，考查了拋物線的應用，平面解析式的基礎知識．考查了考生的基礎知識的綜合運用和知識遷移的能力，是中檔題．