Question

已知O為坐標原點，點F的坐標為（1，0），點P是直線m：x=-1上一動點，
點M為PF的中點，點Q滿足QM⊥PF，且QP⊥m．
（Ⅰ）求點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)過點（2，0）的直線l與點Q的軌跡交于A、B兩點，
且∠AFB=θ．試問角θ能否等于

2π

3

？若能，求出相應(yīng)的直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)點Q（x，y），由已知得|QP|=|QF|，根據(jù)拋物線的定義知，動點Q在以F為焦點，以直線m為準線的拋物線上，點Q的軌跡方程為y²=4x（x≠0）．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，點A坐標為(2，2

2

)，點B坐標為(2，-2

2

)，可以推出∠AFB≠

2

3

π．當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-2），它與拋物線y²=4x的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．由

y2=4x y=k(x-2)

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0（k≠0）．得x₁x₂=4，y₁y₂=-8．由此推出θ角不能等于

2π

3

．

解答：解：（I）設(shè)點Q（x，y），由已知得點Q在FP的中垂線上，（1分）
即|QP|=|QF|，（2分）
根據(jù)拋物線的定義知，動點Q在以F為焦點，以直線m為準線的拋物線上，（4分）
∴點Q的軌跡方程為y²=4x（x≠0）．（6分）
（注：沒有寫出x≠0扣1分）
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，點A坐標為(2，2

2

)，點B坐標為(2，-2

2

)，
∵點F坐標為（1，0），可以推出∠AFB≠

2

3

π．（8分）
當直線l的斜率存在時，
設(shè)l的方程為y=k（x-2），它與拋物線y²=4x的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
由

y2=4x y=k(x-2)

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0（k≠0）．
得x₁x₂=4，y₁y₂=-8．（10分）
假定θ=p，則有cosθ=-

1

2

，
如圖，即

|AF|2+|BF|2-|AB|2

2|AF•|BF|

=-

1

2

（*）
由定義得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．
從而有|AF|²+|BF|²-|AB|²
=（x₁+1）²+（x₂+1）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²
=-2（x₁+x₂）-6．
∴|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=x₁+x₂+5，（12分）
將上式代入（*）得

-2(x1+x2)-6

2(x1+x2)+10

=-

1

2

，即x₁+x₂+1=0．
這與x₁＞0且x₂＞0相矛盾．
綜上，θ角不能等于

2π

3

．（14分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時根據(jù)需要恰當?shù)刈鞒鰣D形能夠起到事半功倍的神奇效果．