Question

在以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，

OA

⊥

AB

，點(diǎn)A（4，-3），B點(diǎn)在第一象限且到x軸的距離為5．
（1） 求向量

AB

的坐標(biāo)及OB所在的直線方程；
（2） 求圓（x-3^）2+（y+1^）2=10關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的圓的方程；
（3） 設(shè)直線l

AB

為方向向量且過(guò)（0，a）點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得橢圓

x2

16

+y²=1上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 存在請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)B（x₀，5），則

OA

=(4，-3)，

AB

=(x0-4，8)，由

OA

⊥

AB

，可得4（x₀-4）-24=0，x₀=10，由此能夠求出向量

AB

的坐標(biāo)及OB所在的直線方程．
（2）設(shè)圓心關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），由（x-3）²+（y+1）²=10，可知圓心為（3，-1），半徑為

10

．由方程y=

1

2

x知kOB=

1

2

，由此能夠推導(dǎo)出所求圓的方程．
（3）假設(shè)橢圓上存在兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，設(shè)其中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₀，y₀）由已知直線l的方程為y=

4

3

x+a，可設(shè)直線AB的方程為y=-

3

4

x+m，將其與已知橢圓方程聯(lián)立得5x²-12mx+8m²-8=0．再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答：解：（1）設(shè)B（x₀，5），
則

OA

=(4，-3)，

AB

=(x0-4，8)，
由

OA

⊥

AB

，可得

OA

•

AB

=0，
∴4（x₀-4）-24=0，x₀=10，
∴B（10，5），∴

AB

=(6，8)，
OB所在的直線方程是：y=

1

2

x（5分）
（2）設(shè)圓心關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），
由（x-3）²+（y+1）²=10，
可知圓心為（3，-1），半徑為

10

．
由方程y=

1

2

x知kOB=

1

2

，
∴

y1+1

x1-3

=-2，又點(diǎn)(

x1+3

2

，

y1-1

2

)在y=

1

2

x上
∴得

x1+3 2 -2• y1-1 2 =0 y1+1 x1-2 =-2

，∴

x1=1 y1=3

，
故所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．（10分）
（3）假設(shè)橢圓上存在兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，
設(shè)其中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₀，y₀），
由已知直線l的方程為y=

4

3

x+a，
可設(shè)直線AB的方程為y=-

3

4

x+m
將其與已知橢圓方程聯(lián)立，
得5x²-12mx+8m²-8=0．
由韋達(dá)定理知x0=

x1+x2

2

=

6m

5

，
y0=

-3

4

×

6m

5

+m=

m

10

．（12分）
中點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓的內(nèi)部可知

( 6m 5 )2

16

+(

m

10

)2＜1，
解得m²＜10．
又M（x₀，y₀）在直線l上，
故

m

10

=

4

3

×

6m

5

+a，
解得m=-

2

3

a代入m²＜10
解得a∈(-

3

2

10

，

3

2

10

)，
即存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，
其取值范圍為a∈(-

3

2

10

，

3

2

10

)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地選取用公式．