Question

如圖，C、D是以AB為直徑的圓上兩點，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F 是AB上一點，且AF=

1

3

AB，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=

2

．
（1）求證：AD⊥平面BCE；
（2）求證：AD∥平面CEF；
（3）求三棱錐A-CFD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）依題AD⊥BD，CE⊥AD，由此能證明AD⊥平面BCE．
（2）由已知得BE=2，BD=3．從而AD∥EF，由此能證明AD∥平面CEF．
（3）由V_A-CFD=V_C-AFD，利用等積法能求出三棱錐A-CFD的體積．

解答： （1）證明：依題AD⊥BD，
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，
∵BD∩CE=E，
∴AD⊥平面BCE．
（2）證明：Rt△BCE中，CE=

2

，BC=

6

，∴BE=2，
Rt△ABD中，AB=2

3

，AD=

3

，∴BD=3．
∴

BF

BA

=

BE

BD

=

2

3

．
∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，
∴AD∥平面CEF．
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，
且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距離等于E到AD的距離為1．
∴S_△FAD=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
∵CE⊥平面ABD，
∴V_A-CFD=V_C-AFD=

1

3

S△FAD•CE=

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．