在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
OA
=(1，4)，
OB
=(5，10)，
OC
=(2，k)．
（1）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，且∠B為直角，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成以AB為底邊的等腰三角形，求∠ACB的余弦值．
分析：（1）
BC
=(-3，k-10)，
BA
=(-4，-6)，利用
BC
•
BA
=12-6(k-10)=0，能求出k的值．     
（2）由
CA
=(-1，4-k)，點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成以AB為底邊的等腰三角形，知9+（k-10）2=1+（4-k）2，由此求出k=
23
3
，能夠推導(dǎo)出∠ACB的余弦值．
解答：解：（1）∵
BC
=(-3，k-10)，
BA
=(-4，-6)；
∴
BC
•
BA
=12-6(k-10)=0，
∴k=12．     
（2）
CA
=(-1，4-k)
∵點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成以AB為底邊的等腰三角形，
∴|
CA
|=|
CB
|，即9+（k-10）2=1+（4-k）2
∴k=
23
3
，
∴
CA
=(-1，-
11
3
)，
CB
=(3，
7
3
)，
∴cos∠ACB=
CA
•
CB
|
CA
|•|
CB
|
=-
104
130
=-
52
65
=-
4
5
．
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)k的求法和求∠ACB的余弦值．是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意平面向量垂直的條件的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到2倍，縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（2）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數(shù)方程）
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸．已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，-5），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，
π
2
），若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為 
π
3
，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）求直線l關(guān)于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，直線l過點(diǎn)A且傾斜角為
π
4
，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量
OA
=(1，4)，
OB
=(5，10)，
OC
=(2，k)．
（1）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，且∠B為直角，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成以AB為底邊的等腰三角形，求∠ACB的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題14分）

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，．

（1）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，且為直角，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成以AB為底邊的等腰三角形，求的余弦值．

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