Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，D為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求證：C₁A⊥B₁C．

Answer 1

【答案】分析：求證線面平行，就要尋求線線平行，通過連接A₁C得交點(diǎn)O，連接OD就找到了中位線，從而找到線線平行關(guān)系，問題得以解決．求證線線垂直，往往尋求線面垂直，只要證得C₁A⊥平面A₁B₁C即可．
解答：解：（Ⅰ）連接A₁C，設(shè)A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接OD．因?yàn)锳CC₁A₁為正方形，所以O(shè)為A₁C中點(diǎn)，又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A₁BC的中位線，
所以A₁B∥OD．因?yàn)镺D?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，C₁A⊥CA₁
因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁是正方形，所以AB⊥AA₁，
又∠BAC=90°，所以AB⊥AC，又AC∩AB=A
所以AB⊥平面ACC₁A₁．
又AB∥A₁B₁，所以A₁B₁⊥平面ACC₁A₁．
又因?yàn)镃₁A?平面ACC₁A₁，
所以A₁B₁⊥C₁A．
所以C₁A⊥平面A₁B₁C．
又B₁C?平面A₁B₁C，
所以C₁A⊥B₁C．
點(diǎn)評：考查線面平行和線線垂直的判定．